中國科學技術(shù)大學幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授與合作者程經(jīng)睿在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得“里程碑式結(jié)果”，他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程，成功證明“強制性猜想”和“測地穩(wěn)定性猜想”這兩個國際數(shù)學界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。兩篇論文日前發(fā)表于國際著名刊物《美國數(shù)學會雜志》。

幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授（中）與程經(jīng)睿（左）在一起 陶冬青/ 攝

凱勒流形上常標量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何中的核心問題之一。關(guān)于其存在性，有三個著名猜想——穩(wěn)定性猜想、強制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想。穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由著名華裔數(shù)學家丘成桐于20世紀90年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。經(jīng)過近20年眾多著名數(shù)學家的工作，強制性猜想和測地穩(wěn)定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認為遙不可及，就如同不帶任何裝備攀登高峰一般艱難。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強制性或測地穩(wěn)定性的假設(shè)下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長期以來業(yè)內(nèi)專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。在陳-程的工作前，對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實現(xiàn)了陳秀雄教授提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。

專家認為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無形的幕墻擋在數(shù)學家面前，陳-程的工作就是在幕墻上“掏了一個洞”，在毫無征兆的情況下找到一個突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統(tǒng)研究此類方程的方法，為探索未知的數(shù)學世界提供了一種新工具。

此外，他們還給出了環(huán)對稱凱勒流形上穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維，并對一般穩(wěn)定性猜想的證明提出可能的解決方案，讓一般穩(wěn)定性猜想的完全解決成為可能。

陳秀雄教授在辦公室 陶冬青/攝

審稿人評價，“陳-程的突破性工作原創(chuàng)性極高、技術(shù)艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類非線性方程提供了深刻的洞見?？梢灶A(yù)見，這一系列論文將成為幾何與偏微分方程領(lǐng)域的經(jīng)典之作?！庇始铱茖W院院士、Fields獎和首屆數(shù)學突破獎得主西蒙·唐納森爵士認為，他們的工作已經(jīng)提供了眾多常標量曲率凱勒度量的新例子，毫無疑問將成為完全認識這個問題的基礎(chǔ)。美國科學院院士布萊恩·勞森教授表示，陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠為該領(lǐng)域里一個實質(zhì)性的突破。

（桂運安）